O que a calculadora mostra
Uma opção dá a quem compra o direito de comprar (call) ou de vender (put) um ativo por um preço combinado, o strike, até a data de vencimento. Quem vende a opção recebe o prêmio e assume a obrigação. O modelo de Black-Scholes, publicado em 1973 por Fischer Black e Myron Scholes e ampliado por Robert Merton, calcula quanto esse direito valeria em teoria a partir de cinco números: preço do ativo, strike, prazo, juros e volatilidade.
O resultado se divide em duas partes. O valor intrínseco é o que a opção valeria se vencesse agora: numa call, o quanto o ativo está acima do strike; numa put, o quanto está abaixo. O resto é o valor extrínseco, ou valor do tempo: é o preço da chance de o ativo ainda andar até o vencimento. Ele encolhe a cada dia e chega a zero no vencimento. Para entender os termos básicos, veja também o verbete opções do glossário.
As gregas, uma por uma
As gregas medem como o prêmio reage quando um dos números da conta muda e o resto fica parado. São aproximações de primeira ordem: valem bem para mudanças pequenas.
Delta. Quanto o prêmio muda para cada R$ 1 de alta no ativo. Vai de 0 a 1 na call e de −1 a 0 na put. Uma call com delta de 0,30 ganha cerca de R$ 0,30 de prêmio se o ativo subir R$ 1. Num lote de 100 opções, o delta também diz a quantas ações a posição equivale naquele momento: 100 calls com delta 0,30 se comportam como 30 ações.
Gama. Quanto o delta muda para cada R$ 1 no ativo. É maior nas opções com strike perto do preço do ativo e perto do vencimento. Gama alto quer dizer que o delta (e, portanto, o risco da posição) muda depressa.
Theta. Quanto o prêmio perde em um dia útil, se nada mais mudar. A calculadora divide o theta anual por 252. Costuma ser negativo para quem compra a opção e acelera nas últimas semanas antes do vencimento.
Vega. Quanto o prêmio muda se a volatilidade subir 1 ponto percentual (de 30% para 31% ao ano, por exemplo). Opções com mais prazo têm vega maior, porque há mais tempo para a incerteza agir.
Rho. Quanto o prêmio muda se a taxa de juros digitada subir 1 ponto percentual (de 15% para 16% ao ano, por exemplo). Juros maiores encarecem a call e barateiam a put, porque mudam o valor presente do strike. Em opções de poucas semanas, o rho costuma ser o menor dos efeitos.
Exemplo com números
Ativo a R$ 30,00, call com strike de R$ 32,00, 21 dias úteis até o vencimento, volatilidade de 30% ao ano, juros de 15% ao ano e sem dividendos. O prazo vira 21 ÷ 252 = 0,0833 ano e os juros viram ln(1,15) = 13,98% contínuos. Com isso, d1 = −0,567 e d2 = −0,654.
O preço teórico da call sai em cerca de R$ 0,44 (R$ 44 por lote de 100). Delta de 0,285, gama de 0,131, theta de −R$ 0,026 por dia útil, vega de R$ 0,029 e rho de R$ 0,006. A put com os mesmos dados sairia em R$ 2,07, dos quais R$ 2,00 são valor intrínseco.
Agora o caminho inverso: se a call estiver sendo negociada a R$ 0,45, a volatilidade implícita é de 30,3% ao ano. É a volatilidade que faz o modelo devolver exatamente esse prêmio. Os números do exemplo são hipotéticos, escolhidos só para mostrar a conta.
Volatilidade implícita e volatilidade histórica
A volatilidade histórica olha para trás: mede o quanto o preço do ativo variou em um período passado (veja como ela é calculada em ações mais voláteis da B3). A volatilidade implícita sai do prêmio negociado agora: é o número que, colocado no modelo, reproduz o preço do mercado. Por isso ela resume, num número só, quanta oscilação os participantes estão embutindo naquele prêmio.
A calculadora encontra a implícita por bisseção: testa uma volatilidade no meio de um intervalo (de 0,01% a 500% ao ano), vê se o preço do modelo ficou acima ou abaixo do prêmio e corta o intervalo pela metade, até a diferença ficar menor que um décimo de milésimo de centavo. Se o prêmio digitado estiver abaixo do valor intrínseco descontado, nenhuma volatilidade chega nele e a calculadora avisa.
É comum opções do mesmo ativo e vencimento terem implícitas diferentes conforme o strike (o chamado sorriso de volatilidade). Isso já mostra uma das limitações do modelo, que supõe uma volatilidade única. Veja o verbete volatilidade no glossário.
Por que 252 dias úteis e a Selic
No Brasil, juros e prazos do mercado financeiro são contados em dias úteis sobre uma base de 252 por ano. A calculadora segue esse padrão: o prazo T é o número de dias úteis até o vencimento dividido por 252, e o fator de desconto do strike é (1 + juros)^(−dias úteis ÷ 252). Isso é o mesmo que usar juros contínuos de ln(1 + juros), que é o que entra na fórmula.
Quando você escolhe a data, os dias úteis são contados a partir de hoje, sem sábados, domingos e os feriados da B3 do calendário da bolsa. A taxa de juros vem preenchida com a meta da Selic definida pelo Copom (veja Selic hoje), mas você pode trocar por outra taxa, como a do DI futuro com vencimento parecido com o da opção.
Limites do modelo nas opções da B3
Black-Scholes calcula o preço de uma opção europeia, que só pode ser exercida no vencimento. Na B3, as calls de ações costumam ser americanas (o titular pode exercer em qualquer dia útil até o vencimento) e as puts costumam ser europeias. Para uma call americana de ação que não paga dividendo até o vencimento, exercer antes raramente compensa e o preço fica próximo do europeu. Quando há dividendo no meio do caminho, ou numa put americana, a diferença pode crescer. Confira o estilo de cada série nas informações da B3 antes de comparar.
O modelo também supõe volatilidade e juros constantes, preço sem saltos e negociação sem custos. Na prática há corretagem, emolumentos, diferença entre os preços de compra e de venda no livro de ofertas e séries com pouca liquidez, em que o último negócio pode estar longe do preço atual. Use o resultado como referência de conta, não como o preço justo da opção.
As opções mensais de ações vencem na terceira sexta-feira do mês (regra da B3 desde maio de 2021); as datas de 2026 e 2027 estão em vencimento de opções. Para ver o resultado de uma combinação de opções no vencimento, use o simulador de travas e estruturas.
Imposto sobre o ganho com opções
O ganho líquido com opções segue as regras de renda variável: 15% nas operações comuns (swing trade) e 20% no day trade, apurado no mês e pago por DARF até o último dia útil do mês seguinte. A isenção de vendas até R$ 20 mil por mês vale só para ações no mercado à vista, não para opções. Faça a conta do mês na calculadora de imposto de day trade e swing trade e veja os detalhes da declaração em imposto de renda.
Perguntas frequentes
O que é o modelo de Black-Scholes?+
É uma fórmula publicada em 1973 que calcula o preço teórico de uma opção europeia a partir do preço do ativo, do strike, do prazo, dos juros e da volatilidade. Ela supõe volatilidade e juros constantes e mercado sem custos, por isso o resultado é uma aproximação.
Black-Scholes serve para as opções de ações da B3?+
Serve como aproximação. O modelo é para opção europeia, e na B3 as calls de ações costumam ser americanas, que podem ser exercidas antes do vencimento. Para calls sem dividendo até o vencimento a diferença costuma ser pequena; com dividendos ou em puts americanas ela pode ser maior.
O que é a volatilidade implícita?+
É a volatilidade que, colocada no modelo, faz o preço teórico ficar igual ao prêmio negociado. A calculadora encontra esse número por bisseção, testando valores entre 0,01% e 500% ao ano até o preço do modelo bater com o prêmio digitado.
Por que o theta é negativo?+
Porque a parte do prêmio que paga pelo tempo restante diminui a cada dia. Para quem comprou a opção, o theta mostra quanto o prêmio perde em um dia útil se o preço do ativo, a volatilidade e os juros não mudarem.
Qual taxa de juros devo usar?+
A calculadora preenche a meta da Selic do Banco Central porque é a referência mais conhecida. Também é comum usar a taxa do DI futuro com vencimento próximo ao da opção. Em opções curtas, a escolha muda pouco o resultado; o rho mostra quanto.
Os números que eu digito ficam salvos?+
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